تبلیغات
ریاضیات پویا - کاربرد ریاضی در علوم تجربی
ریاضیات پویا

ریاضیات در اینترنت

آرشیو موضوعی

آرشیو

دوستان من

آمار وبلاگ

کاربرد ریاضی در علوم تجربی

کاربرد ریاضی در علوم تجربی

 یکی از ویژگی های جالب توجه ریاضیات، کاربرد آن در علم تجربی است. هر کدام از شاخه های علم بسیار و به دفعات از قسمت های مختلف ریاضیات کمک گرفته  اند، از کاربرد فضاهای هیلبرتی(Hilbert spaces)  در مکانیک کوانتم گرفته تا کاربرد هندسه دیفرانسیل (differential geometry) در نسبیت عام.

تنها علم فیزیک نیست که از خدمات ریاضیات به نفع خود بهره می برد. مثلا زیست شاسی، به نحو گسترده ای معادلات تفاضلی و شاخص های آماری را به کار می گیرد. نقش هایی که ریاضیات در این نظریه های بازی می کند نیز متنوع و گوناگون است. ریاضیات علاوه بر اینکه به پیش بینی های تجربی کمک می کند، همچنین سادگی و ایجاز را در اظهار بسیاری از تئوری ها امکان پذیر می سازد. به طور قطع همچنان که زبان ریاضیات برای علم (science) مهم است، مشکل می توان تصور کرد که نظریه های مثل مکانیک کوانتم و نسبیت عام بدون به کارگیری میزان قابل توجهی از [دستاوردهای] ریاضیات، چگونه تبیین می شدند. برخی فیلسوفان از این واقعیت قابل ذکر و در عین حال غیر قابل مناقشه ، که ریاضیات برای علم  اجتناب ناپذیر است، به نتایج متافیزیکی خاصی رسیده اند. [از این میان] به ویژه کواین (Quine) و پاتنام (Putnam) استدلال کرده اند که اجتناب ناپذیریِ ریاضیات برای علم تجربی به ما دلیل کافی برای باور به وجود هویت های (entities) ریاضی ارائه می دهد.  بر اساس این استدلال، سخن گفتن از (ویا تسویر (or quantification over)) هویت های ریاضی مثل مجموعه ها (sets)، اعداد، توابع و ... برای بهترین نظریه های علمی ما اجتناب ناپذیر است. بنابراین ما باید پایبند و ملزم به وجود این هویت های ریاضی باشیم. و الا (اگر ملتزم به وجود این هویت ها نباشیم) مرتکب آنچه پاتنام عدم صداقت فکری (intellectual dishonesty) می نامد، شده ایم. به علاوه، به نظر می رسد هویت های ریاضی به اندازه دیگر هویت های نظری در علم(science)، تجربی هستند، زیرا اعتقاد به وجود هویت های ریاضی به وسیله همان شواهدی توجیه شده است که کل نظریه (و بنابراین اعتقاد به وجود دیگر هویت های نظری) را تایید می کنند. این استدلال به عنوان برهان «اجتناب ناپذیری رئالیسم ریاضیِ» کواین-پاتنام شناخته می شود. «براهین اجتناب ناپذیری»  دیگری نیز وجود دارد ولی این یکی از هر نظر بانفوذتر و موثرتر است. بنابراین من در این مقاله بر آن تمرکز می  كنم.

1- توضیح برهان اجتناب ناپذیری کواین – پاتنام

برهان اجتناب ناپذیری کواین   پاتنام گاه به این خاطر توجه بسیاری را به خود جلب کرده  که بسیاری آن را بهترین برهان، به نفع رئالیسم ریاضی (mathematical realism) (یا مشی افلاطونی  (platonism) در ریاضیات) می دانند. بر همین اساس بر مخالفان رئالیسم (anti-realists) هویت های ریاضی (یا همان طرفداران اصالت نام) لازم است که مشخص کنند که کجای برهان کواین- پاتنام اشتباه است. از سوی دیگر بسیاری از حامیان مشی  افلاطونی (platonists) برای توجیه عقیده شان در مورد هویت های ریاضی به شکل بسیار جدی بر این برهان تکیه کردند. این برهان طرفداران اصالت نام را در جایگاه کسانی می شناسد که در مورد هویت های نظری علمی دیگر (مثل کوارک، الکترون، سیاه چاله ها و از این قبیل) در وضعیتی بسیار دشوار، به رئالیسم تمایل دارند. آن ها [طرفداران اصالت نام] نوعا برهانی را شبیه برهان کواین-پاتنام در توجیه رئالیسم در مورد کوارک و سیاه چاله ها می پذیرند.  (این همان چیزی است که کواین (1980b, p45)  آن را معیار دوگانه (double standard) در هستی شناس می نامد.)

من در اشاراتی که در پی می آید، برهان اجتناب ناپذیری کواین-پاتنام را به شکل واضح تبین می کنم:

P1 [= مقدمه اول] - ما می باید به همه و فقط به هویت هایی که برای بهترین نظریه های علمی مان اجتناب ناپذیرند، التزام هستی شناسیك  (ontological commitment) داشته باشیم.

P2 [= مقدمه دوم] – هویت های ریاضی برای بهترین نظریات علمی ما اجتناب ناپذیرند.

C [= نتیجه] - ما می باید به هویت های ریاضی التزام هستی شناسیك داشته باشیم.

بر این اساس این برهان قاعده مند و صورت بندی شده و لذا معتبر است. در اینجا توجه و تمرکز بر دو مقدمه ضروری است. طبیعتا دو مساله مهم [در اینجا] مطرح  می شود.  اولین مساله به چگونگی درک ما از  اجتناب ناپذیری ریاضیات مربوط است. من در بخش بعدی به این مساله می پردازم. دومین مساله مربوط به اولین مقدمه است. این مقدمه اصلا به بداهت دومین مقدمه نیست و به وضوح نیاز به دفاع دارد. من در بخش 3 به این مطلب خواهم پرداخت. سپس برخی از انتقادات مهم به این برهان (برهان کواین-پاتنام) را معرفی می کنم،سپس نقش برهان کواین پاتنام را در سطحی وسیع تر مورد ملاحظه قرار می دهم، و موقعیت این برهان را در نسبت با دیگر براهین مهم در رد یا قبول رئالیسم ریاضی بررسی می کنم.

2- اجتناب ناپذیر بودن به چه معنا است؟

این مساله که ما می باید چگونه «اجتناب ناپذیری» (indispensability) را در زمینه بحث حاضر بفهمیم، مساله ای تعیین کننده در فهم برهان کواین-پاتنام است، اما شگفت اینکه کمتر مورد توجه قرار گرفته است. کواین در واقع بیش از اینکه بر حسب اجتناب ناپذیری سخن گوید، بر حسب هویت هایی سخن می گوید که در شکل رسمی بهترین نظریه های علمی ما مسور شده اند (quantified over). با این همه بحث بر حسب «اجتناب ناپذیری» ادامه دارد و بنابراین ما باید تلاش کنیم مقصود از این اصطلاح را آشکار سازیم.

اولین چیزی که باید بدان توجه کرد این است که «اجتناب پذیری»  (dispensability) به معنای «قابل حذف بودن» (eliminability) نیست. وگرنه هر هویتی (entity) «اجتناب پذیر» (dispensable) خواهد بود (بر اساس یکی از قضایای کریگ (Craig)) . شرط «اجتناب پذیر» بودن یک «هویت» این است که اولا آن هویت قابل حذف (eliminable) باشد  ثانیا نظریه ای که از حذف این هویت نتیجه می شود، نظریه ای جذاب (attractive) باشد. (و یا حتی این نظریه جذاب تر (more attractive) از نظریه ای باشد که از عدم حذف آن هویت حاصل می شود.) ما [برای تشخیص نظریه جذاب] می باید تبیین کنیم چه چیزی نظریه جذاب به حساب می  آید ولی برای این کار  می توانیم مطلوب های پذیرفته شده ی نظریه های علمی خوب را ملاک قرار دهیم: از قبیل: موفقیت تجربی، قدرت وحدت بخشی (unificatory power) ، سادگی، قدرت تبیین (explanatory power) ، باروری (fertility) و غیره. البته ما از اینکه چه مطلوب هایی  مناسب و مقتضی هستند و از  ارزش نسبی آنها بحث خواهیم کرد اما این موضوعات می باید مستقل از موضوع «اجتناب ناپذیری» مورد بحث و حل و فصل قرار گیرد. (برای اطلاعات بیشتر در این مورد به برگِس (1983) و کالیوان (1999b) بنگرید).

این مباحث طبیعتا این مساله را برمی انگیزد که ریاضیات تا چه اندازه اجتناب ناپذیر است (و بر همین اساس این مساله مطرح می شود که ریاضیات تا چه حد متحمل الزام هستی شناسیك است). به نظر می رسد برهان «اجتناب ناپذیری» تنها همان مقدار از باور به ریاضیات را موجه می داند که در خدمت نیاز های علمی در می آید. به همین خاطر است که  می بینیم پاتنام از «نیازهای نظری ثابت فیزیک» سخن می گوید (Putnam 1979 b, p.346) و کواین هم مدعی می شود از آنجا که سطوح بالاتر نظریه مجموعه ها کاربردی در فیزیک ندارند، «[نوعی] سرگرمی ریاضی هستند و ارزش وجودشناسیك ندارند» (Quine 1986, p.400). ممکن است کسی خط مشی کمتر محدودکننده ای را اتخاذ کند و مدعی شود که سطوح بالایی نظریه  مجموعه ها هرچند کاربردی در علم  فیزیک ندارد،اما به موجب این که آنها در قسمت های دیگری از ریاضیات کاربرد دارند،ممكن است التزام وجود شناسیك/هستی شناسیك/ را در پی داشته باشند. به شرطی که سلسله کاربردها سرانجام به علم فیزیک منتهی شود، می توانیم مدعی شویم که کل این سلسله التزام هستی شناسیك را در پی دارد. کواین خود در چارچوب همین خط مشی، نظریه مجموعه اعداد نامتناهی را  موجه می داند(Quine1984,p.788)، اما او دلیلی برای فراتر رفتن از مجموعه های ساختنی (constructible) نمی بیند (Quine1986,p,400). با وجود این،  دلیل کواین برای این محدودیت چندان ربطی به برهان «اجتناب ناپذیری» ندارد. بنابراین حامیان این برهان نیازی ندارند که در این موضوع از کواین طرفداری کنند.

3- طبیعی گرایی (naturalism)  و کل انگاری (holism) 

هر چند هر دو مقدمه برهان اجتناب ناپذیری کواین-پاتنام زیر سوال قرار گرفته، اولین مقدمه این برهان است که آشکارا نیاز به تایید دارد. این تایید از طبیعی گرایی و کل انگاری به دست می آید.

طبیعی گرایی به عنوان آموزه ای فلسفی آن گونه که کواین می گوید، بدین معناست که فلسفه اولی وجود ندارد و فعالیت فلسفی در امتداد و پیوسته با فعالیت علمی است (Quine1981b). مقصود کواین این است که فلسفه در هیچ مزیت و ویژگی ای بر علم مقدم نیست.  مهمتر آن که علمی که این گونه (یعنی به نحوی که فلسفه جزئی پیوسته از آن باشد) تفسیر می شود، حکایت کامل جهان دانسته می شود. این آموزه از روی احترام زیاد برای روش شناسی علمی و تایید موفقیت انکارناپذیر این روش شناسی به مثابه طریقی برای پاسخ به مسائل بنیادین پیرامون ماهیت همه چیزها مطرح شد. همچنان که کواین اظهار می کند منشاء آن در رئالیسم اصلاح نشده است؛ یعنی حالت استحکام ذهنی دانشمند طبیعی؛ که هرگز شک و تردید و دغدغه خاطری ماورای تردید های قابل بحثی که از درون علم حاصل شده است، ندارد. (Quine1981b,p.72) این نزد اهل مابعدالطبیعه (metaphysician)  بدین معناست که برای اینکه تعیین کنیم چه چیز وجود دارد (exist) به عبارت دقیق تر برای اینکه تعیین کنیم به وجود چه چیزی باید باور داشته باشیم، [باید] به بهترین نظریه های علمی مان (our best scientific theories) بنگریم. خلاصه  اینکه طبیعی گرایی روش های غیرعلمی را در تعیین اینکه چه چیزی وجود دارد، رد می کند. مثلا طبیعی گرایی اعتقاد به تناسخ ارواح را به خاطر ادله اسرارآمیز (mystical) آن منتفی می داند. با وجود این، اگر بهترین نظریه های علمی ما نیاز به صدق (truth) تناسخ ارواح داشته باشند طبیعی گرایی این آموزه [=تناسخ ارواح] را رد نمی کند.

بنابراین طبیعی گرایی تنها باور به هویت هایی را که در بهترین نظریه های علمی ما جایی دارند مستدل و معقول می داند. امکان اینکه طبیعی گرایی به شما بگوید که آیا به همه هویت های بهترین نظریه های علمی تان باور داشته باشید یا نه، دقیقا بسته به این است که شما چه برداشتی از طبیعی گرایی دارید. به نظر من طبیعی گرایی دلیل قانع کننده ای برای باور  همه این هویت ها می دهد، ولیکن این نظر قابل رد و ابطال است. این جاست که کل ا نگاری (holism) اهمیت پیدا می کند: به ویژه، کل انگاری تاییدی (conformational holism).

بر اساس کل انگاری تاییدی، هر نظریه یا به کلی تایید می شود و یا به کلی رد می شود. بنابراین اگر  نظریه ای به وسیله یافته های تجربی تایید شد، کل نظریه تایید شده است. و ریاضیات به صورت خاص، به همان اندازه که در چنین نظریه ای به کار گرفته شود، تایید شده است(Quine1976,pp.120-122) . مضافا اینکه همانطور که پاتنام (1979a)  تاکید می کند، شاهدی که برای توجیه باور به مولفه های ریاضی نظریه، مورد نیاز است، همان گواهی است که برای توجیه باور به قسمت تجربی نظریه مورد نیاز است (البته اگر قسمت تجربی نظریه را بتوان از اجزاء ریاضی تفکیک کرد). بنابراین طبیعی گرایی و کل انگاری با همدیگر، P1 (مقدمه اول) را توجیه می کنند. به طور کلی، واژه «فقط» را در مقدمه اول [= ما می باید فقط به هویت هایی که برای بهترین نظریه های علمی مان اجتناب ناپذیرند، التزام هستی شناسیك داشته باشیم]  طبیعی گرایی و واژه «همه» را در مقدمه اول [= ما می باید به همه هویت هایی که برای بهترین نظریه های علمی مان اجتناب ناپذیرند، التزام هستی شناسیك داشته باشیم] کل انگاری به ما ارائه می  كند.

بد نیست  به دو مضمون کل انگارانه که در نوشته های کواین وجود دارد، توجه کنیم. اولین مضمون، کل انگاری تاییدی است که مورد بحث و بررسی قرار گرفت (که غالبا تز دوئم-کواین نامیده می شود). مضمون دوم، کل انگاری معناشناسیك (semantic holism) است که بر اساس آن  واحد معنا جمله ی تنها نیست بلکه نظام های جملات (systems of sentences) است (و در برخی اشکال افراطی کل انگاری معناشناسیك، واحد معنا کل زبان است). کل انگاری معناشناسیك شدیدا با رد معروف کواین بر تمایز بین تحلیلی و ترکیبی (Quine1980b) و تز به همان اندازه مشهور او مبنی بر عدم قطعیت ترجمه (Quine1960)، مرتبط است. هرچند نزد کواین این دو کل انگاری  بسیار با هم مرتبطند، اما دلیل قانع کننده ای برای تمایز آنها از یکدیگر وجود دارد، زیرا به طورکلی به نظر می رسد کل انگاری معناشناسیك بسیار بحث انگیز است در حالی که کل انگاری تاییدی نسبتا بدون بحث و جدل مورد توجه قرار گرفته است. 

بحث حاضر از این حیث مهم است که کواین می خواهد صریحا کل انگاری معناشناسیك را با وجود مورد مناقشه بودن، در تایید و تقویت برهان «اجتناب ناپذیری» به کار گیرد(Quine 1980b,pp.45-46). با وجوداین به نظر بسیاری از مفسران برای ابطال  برهان اجتناب ناپذیری، کل انگاری تاییدی به تنهایی کفایت می کند. (برای مثال بنگرید به Colyvan (1998) Field (1989, pp. 14-20) Hellman (199?) Resnik (1995a; 1997) Maddy (1992))  و معرفی من در اینجا از آن بصیرت مقبول پیروی می کند. با این حال باید به ذهن سپرد که گرچه برهان اجتناب نپذیری که بدین گونه تفسیر شده، دارای حال و هوای اندیشه کواین است، ولی اگر بخواهیم دقیق سخن بگوییم، این، برهانِ [اجتناب ناپذیریِ] کواین نیست.

4- انتقادات (objections)

انتقادات زیادی به برهان اجتناب ناپذیری مطرح شده است، از جمله انتقاد چارلز پارسون (1980) که می گوید بداهت احکام بنیادین ریاضی در برهان کواین بدون تبیین و توضیح مانده است و انتقاد فیلیپ کیچر (1984,pp.104-105) که دغدغه این را دارد که برهان اجتناب ناپذیری توضیح نمی دهد که چرا ریاضیات برای علم اجتناب ناپذیر است. در عین حال، انتقاداتی که بیشترین توجه را به خود جلب کردند آنهایی هستند که توسط هارتری فیلد، پنلوپه مدی  و الیوت سوبر مطرح شدند. به ویژه فیلد که طرح اسمی سازی(nominalisation program)  او بر مباحث اخیر هستی شناسی ریاضیات حاکم شده است.

فیلد (1980) قضیه ای را در رد دومین مقدمه برهان کواین-پاتنام مطرح می کند. او اظهار می کند که به رغم آنچه به نظر می رسد، ریاضیات برای علم ضروری نیست. طرح فیلد دو قسمت دارد. در قسمت اول او استدلال می کند که نظریه های ریاضی برای اینکه کاربرد داشته باشند لازم نیست که صادق باشند بلکه آنها تنها می باید محافظه کار (conservative) باشند. (این به طور کلی یعنی اگر نظریه ریاضی به نظریه اصالت نام علمی (nominalist scientific theory) افزوده شود، هیچ نتیجه اصالت نامی -که از نظریه علمی اصالت نام به تنهایی حاصل نمی شد- حاصل نخواهد شد). این تبیین می کند که چرا ریاضیات می تواند در علم به کار رود ولی تبیین نمی کند که [اصلا] چرا ریاضیات در علم به کار می رود. پاسخ اینکه چرا ریاضیات در علم به کار می رود این است که ریاضیات محاسبه و ارائه نظریه های مختلف را بسیار ساده تر می کند. بنابراین، از نظر فیلد فایده ریاضیات صرفا از حیث عملی (pragmatic) آن است- یعنی نهایتا ریاضیات [از حیث نظری] اجتناب ناپذیر نیست.

دومین قسمت برنامه فیلد اثبات این مدعا است که بهترین نظریه های علمی ما می توانند به شکل مناسبی اسمی  شوند (nominalised) . یعنی او تلاش می کند نشان دهد که ما بدون تسویر هویت های ریاضی مشکلی نخواهیم داشت و آنچه که در آن صورت برای ما خواهد ماند، نظریاتی جذاب خواهد بود که جذابیت آنها بی دلیل نیست.  با همین مقصود او در پی آن است که قسمت اعظم نظریه جاذبه نیوتن را اسمی کند. اگرچه این بسیار متفاوت است با اثبات  اینکه همه بهترین نظریه های متداول علمی می توانند اسمی شوند، اما در همین حد هم چیزی بی اهمیت و پیش پا افتاده نیست. امید این است که وقتی متوجه بشویم حذف ارجاع به... و سخن گفتن از هویت های ریاضی برای یک نظریه معمول فیزیکی چگونه قابل حصول است، موجه به نظر برسد که این طرح بتواند برای بقیه علوم هم کامل شود.

بحث های بسیاری در مورد احتمال موفقیت برنامه فیلد شده است، اما کمند افرادی که در مورد اهمیت این برنامه تردید داشته باشند. در عین حال اخیرا پنِلُپه مدی اظهار کرده است که اگر مقدمه اول (p1)  نادرست باشد، طرح فیلد احتمالا بی ارتباط با بحث رئالیسم-آنتی رئالیسم در ریاضیات (the realism/anti-realism debate in mathematics)   از کار درمی آید. مدی چند انتقاد جدی به مقدمه اول برهان اجتناب ناپذیری مطرح می کند (Maddy 1992,1995,1997) . او به ویژه اظهار می کند که ما نمی باید التزام وجودشناسیك به همه هویت هایی که برای بهترین نظریه های علمی مان اجتناب ناپذیرند، داشته باشیم. انتقادات او ما را متوجه مسائل و معضلات آشتی دادن طبیعی گرایی با کل انگاری تاییدی می کند. او به ویژه خاطر نشان می کند که چگونه تلقی کل انگارانه نسبت به نظریه های علمی، در تبیین صحت جنبه های مسلم فعالیت های علمی و ریاضی با مشکلاتی مواجه است، فعالیت هایی که از قرار معلوم، با توجه به احترام بالایی که طبیعی گرایی برای فعالیت علمی قائل است، می باید مقبول باشند. توجه به این نکته مهم است که بیشتر قسمت های انتقادات مدی در کل مربوط به پیامدهای روش شناسیك پذیرش دو آموزه کواینی است یعنی: طبیعی گرایی و کل انگاری –یعنی آموزه هایی که جهت تایید و تقویت مقدمه اول برهان اجتناب ناپذیری به کار گرفته شدند-. بنابراین مقدمه اولِ [برهان اجتناب ناپذیری] با تضعیف مویدهایش زیر سوال می رود. انتقاد اول مدی  به برهان اجتناب ناپذیری این است که طرز برخورد معمول دانشمندانِ تاثیرگذار از اجزاء و مولفه های نظریه های تایید شده، از باور (belief)  تا مماشات (tolerance) و رد کامل (outright rejection) ، در نوسان است(Maddy 1992,p.280) . نکته این است که طبیعی گرایی به ما توصیه می کند که به روش های دانشمندانِ تاثیرگذار احترام بگذاریم، و با این حال کل انگاری ظاهرا به ما می گوید که دانشمندانِ تاثیرگذار نمی باید اینچنین متفاوت هویت ها را در نظریه های خود تایید کنند. مدی اظهار می کند که ما در اینجا باید از طبیعی گرایی در مقابل کل انگاری جانب داری کنیم.  بنابراین ما باید طرز برخورد دانشمندان تاثیرگذار را که ظاهرا به همه هویت هایی که به وسیله بهترین نظریه های ما مفروض هستند، باور ندارند، تایید کنیم. بر این اساس  می باید مقدمه اول (p1)  را رد کنیم.

معضل دوم [=انتقاد دوم مدی] نتیجه اولی است. اگر انسان یک باره کیفیت  نظریه های علمی را همچون واحدهایی متجانس نداند، این مساله برایش مطرح می شود که آیا قسمت های ریاضی نظریه ها در ردیف مولفه های صادق نظریه های تایید شده قرار می گیرد یا در ردیف مولفه های مفهومی شده. دلیل مدی بر این مدعا این است که ظاهرا خود دانشمندان (scientists) کاربرد اجتناب ناپذیر یک نظریه ریاضی را نشانه ای مبنی بر صدق نظریه ریاضی مزبور، نمی دانند. مثلا این گمان غلط که آب دارای عمق بی نهایت است غالبا در تحلیل امواج آب به کارگرفته می شود، یا این پنداشت که ماده پیوسته است معمولا در دینامیک سیالات مطرح می شود (Maddy1992,pp.281-282) . چنین مواردی نشان دهنده این است که دانشمندان (scientists) به ریاضیات همان اندازه که کارعلمی شان ایجاب کند، استناد می کنند و کاری به صدق نظریه ریاضی موردِ نظر ندارند (Maddy1995,p.255). مضافا  به نظر می رسد که کل انگاریِ تاییدی با فعالیت علمی واقعی،  در نتیجه با طبیعی گرایی در تضاد است.  و نیز مدی از طبیعی گرایی جانب داری می کند. (در مورد برخی مسائل و مشکلات کل انگاری کواینی همچنین بنگرید به  پارسون (1983).) نکته اصلی در اینجا این است که اگر طبیعی گرایی به ما توصیه می کند که در چنین مواردی از طرز نگرش دانشمندانِ تاثیرگذار جانبداری کنیم، پس ظاهرا ما نمی بایست اجتناب ناپذیریِ به کارگیری یک نظریه ریاضی را در فیزیک نشانه ای مبنی بر صدق آن نظریه ریاضی بدانیم(2). به علاوه از آنجا که ما دلیلی برای باور به صدق نظریه ریاضی  مورد بحث نداریم، دلیلی [هم] برای باور به واقعیت داشتن هویت های ریاضی ای که به وسیله این نظریه (ریاضی) مفروض هستند، نداریم.  پس یک بار دیگر می بایست P1 [= مقدمه اول] را رد کنیم.

نقد سوم مدی این است که مشکل می توان فهمید که چگونه ریاضی دانان تاثیرگذار  سعی می کنند که مسائل مستقل (independent questions) را حل و فصل کنند. مسائل مستقل، مسائلی هستند که از اصول پذیرفته شده ی نظریه مجموعه ها (the standard axioms of set theory)  -اصول موضوعهZFC  - مستقل هستند. به منظور حل برخی از این مسائل، اصول موضوعه جدیدی جهت ضمیمه شدن به ZFC پیشنهاد شدند و استدلال هایی در تقویت و تایید این اصول موضوعه پیشنهادی مطرح شده است. مشکل این است که به نظر می رسد این استدلال ها هیچ کارایی ای در علم فیزیک ندارند: آنها نوعا استدلال های درون-ریاضی (intra-mathematical argument)  هستند. با وجود این، بر اساس نظریه اجتناب ناپذیری، باید اصول موضوعه جدید بر اساس اینکه آنها دقیقا چگونه با بهترین نظریه های علمی رایج ما اتصال و انسجام پیدا می کنند، مورد ارزشیابی قرار گیرند. یعنی نظریه پردازان نظریه مجموعه ها می باید اصول موضوعه جدید را با توجه به آخرین پیشرفت ها و تحولات در علم فیزیک، ارزیابی کنند.  به فرض اینکه  نظریه پردازان نظریه مجموعه ها چنین نکنند، به نظر می رسد که کل انگاری تاییدی مدافع بازنگری در فعالیت ریاضی پذیرفته  شده باشد، و این به نظر مدی باز با طبیعی گرایی در اختلاف است(Maddy 1992,pp.286-289). 

اگرچه مدی این نقد را به گونه ای صورت بندی نکرده که مستقیما با P1 (مقدمه اول برهان اجتناب ناپذیری) در تعارض باشد، اما به طور قطع تنشی را بین طبیعی گرایی و کل انگاری تاییدی آشکار می کند. و از آنجا که تایید P1، هم مستلزم [پذیرش] کل انگاری تاییدی است و هم نیازمند طبیعی گرایی، این نقد به طور غیر مستقیم موجب تردید در صحت p1  می شود. در عین حال مدی طبیعی گرایی را تصدیق و تایید می کند و نقد خود را در جهت رد کل انگاری تاییدی به کار می گیرد. من بحث پیرامون تاثیر رد کل انگاری تاییدی بر برهان اجتناب ناپذیری را بعد از اینکه خطوط کلی نقد سوبر را ترسیم کردم، پی می گیرم، چرا که سوبر  به نتایجی بسیارمشابه با مدی می رسد.

نقد الیوت سوبر دقیقا مرتبط با نقد دوم و سوم مدی است. سوبر (1993) بحث خود را با این ادعا پی می گیرد که نظریه های ریاضی در تایید تجربی بهترین نظری های علمی ما سهیم اند. او اساسا استدلال می کند که نظریه های ریاضی به همان شیوه ی  نظریه های آشکارا تجربی علم، مورد آزمایش قرار نمی گیرند. او اظهار می کند که فرضیه ها (hypotheses) در نسبت با فرضیه های رقیب مورد تایید قرار می گیرند. بنابراین اگر ریاضیات همراه با بهترین فرضیه های تجربی ما (همچنان که نظریه اجتناب ناپذیری ادعا می کند) تایید شود، می باید رقیب های غیر ریاضی وجود داشته باشند. اما سوبر اظهار می کند که همه نظریه های علمی اصول ریاضی مشترکی را به کار می گیرند. بنابراین از آنجا که فرضیه های رقیبی در مورد ریاضیات وجود ندارد، خطا است اگر گمان کنیم که ریاضیات به همان شیوه فرضیه های علمی و به وسیله ادله تجربی تایید می شود. همچنان که سوبر آشکارا اظهار می کند (Sober 1993,p.53)، این ایرادی بر P1 (مقدمه اول برهان اجتناب ناپذیری) وارد نمی آورد، اما در عین حال نقدی بر دیدگاه کلی کواین که بر اساس آن ریاضیات بخشی از علم تجربی است، محسوب می شود. اظهارات سوبر مانند نقد سوم مدی موجب رد کل انگاری تاییدی می شود. تاثیر این انتقادات بر P1 بسته به این است که شما تا چه حد کل انگاری تاییدی را برای این مقدمه [یعنی P1] تعیین کننده بدانید. مسلما اگر کل انگاری تاییدی رد شود، جاذبه بی واسطه P1 تا حد زیادی از بین می رود. در هر صورت، تایید نتیجه برهان اجتناب ناپذیری، برغم وجود نقدهای سوبر یا مدی، به معنای اخذ این موضع است که جایز است  دست کم التزام هستی شناسیك به هویت هایی داشته باشیم که تایید تجربی اخذ نکردند. اگر این به طورکلی غیرقابل دفاع نباشد، قطعا مورد نظر برهان اصلی کواین-پاتنام نبوده است.

5- نتیجه گیری

مشخص نیست که انتقادات مذکور چه آسیبی به برهان اجتناب ناپذیری وارد می آورد. به طور قطع با توجه به مقالات متعددی که اخیرا درآن ها به این موضوع پرداخته اند، بحث در باره این موضوع برقرار و جاری است. (بنگرید به کتاب شناسی ای که در انتهای این مقاله ارائه می شود.) یکی از مسائلی که دقیقا به این بحث ارتباط دارد این است که آیا براهین مناسب دیگری در اثبات مشیِ افلاطونی (platonism) وجود دارد یا خیر. اگر همانگونه که برخی معتقدند برهان اجتناب ناپذیری، تنها برهان در خور توجه در اثبات مشیِ افلاطونی باشد، و اگر این برهان [به واسطه انتقادات] رد شود، به نظر می رسد مشیِ افلاطونی دیگر جایی در فلسفه ریاضیات نخواهد داشت. بنابراین در رابطه با این موضوع براهین دیگری،موافق ومخالف  رئالیسم ریاضی، هم جای طرح دارند. به هر حال شایان توجه است که برهان اجتناب ناپذیری یکی از معدود براهینی است که بر مباحث هستی شناسیك ریاضیات حاکم  بوده است. ازاینرو نمی باید این برهان را جدای از دیگر براهین مورد بررسی قرار داد.

از دو برهان مهم برضد رئالیسم ریاضی، یکی [بیانگر] معضل معرفت شناسیك مشی افلاطونی است (چگونه ما از طریق شناخت علی- معلولی به هویت های بی حرکت و بی اثر ریاضی پی می بریم؟ (Banacerraf 1983b)) و دیگری [بیانگر] معضل عدم قطعیت فروکاستن  (reduction)  اعداد به مجموعه ها است (اگر اعداد [همان] مجموعه هستند، چه مجموعه هایی اعداد هستند؟  (Banacerraf 1983a)). قطع نظر از برهان اجتناب ناپذیری، برهان مهم دیگر در اثبات رئالیسم ریاضی این برهان است که [می گوید] پسندیده است که معناشناسی یک شکل و واحدی  برای کل گفتمان ها(discourse) ؛ چه ریاضی باشند و چه غیر ریاضی، در نظر گیریم (Banacerraf 1983b). به طور قطع رئالیسم ریاضی به راحتی پاسخگوی این چالش است، چرا که رئالیسم ریاضی دقیقا به همان شیوه ای صدق جملات ریاضی را تبیین می کند که سایر جملات را. با وجود این، مشخص نیست که اصالت نام چگونه معناشناسی واحد و یک شکلی را ارائه می دهد.

در نهایت  این نکته شایان توجه است که حتی اگر برهان اجتناب ناپذیری تنها برهان ارزشمند در اثبات مشی افلاطونی باشد، شکست و رد این برهان ضرورتا به معنای تایید و توجیه اصالت نام نیست، چرا که ممکن است اصالت نام نیز فاقد پشتوانه و اثبات باشد. با وجود این منصفانه است که بگوییم اگر انتقاداتی که علیه برهان اجتناب ناپذیری مطرح شود، تایید شوند یکی از مهمترین برهان ها در اثبات مشی افلاطونی رد می شود. این امر مشی افلاطونی [در فلسفه ریاضی] را واقعا در وضعیت ضعیفی قرار خواهد داد.

درباره وبلاگ

مدیر وبلاگ : محمود مقصودی

آخرین پست ها

جستجو

نظرسنجی

  • به نظر شما در میان علوم پایه ، کدام گزینه بیشترین نقش را در زندگی انسان داراست؟